Thursday, September 15, 2005

Investigación-Matemática

Jåv¦ë® ©é§ÞëÐë§---®ëy Üߦ££µ§

1) ¿Qué es una ecuación de segundo grado? Ejemplos:
- Una ecuación de 2º grado es una igualdad de la forma:
a x^2 + b x + c = 0 ,
; donde a, b y c, con a ≠ 0, son números Reales o Complejos.
Ejemplos:

- Wikipedia.org. "Ecuación de Segundo grado".Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado

- Pedro Armas Vega. "ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO". Disponible en:
2) ¿Qué se tiene en cuenta para la resolución algebraica?
- Para solucionar una ecuación de segundo grado, primero hay que transformarla a la forma ax2 + bx + c = 0, para lo cual se siguen los siguientes pasos:
1. Se quitan paréntesis, teniendo en cuenta el signo que les precede.
2. Se quitan los denominadores multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los mismos.
3. Se pasan todos los términos de la ecuación al mismo lado del signo =.
4. Se reducen los términos semejantes.
5. Se ordenan los términos según el orden decreciente de los exponentes de x:
ax2 + bx + c = 0.
Nota:
* Una vez obtenida esta expresión, si la ecuación puede simplificarse, porque todos sus coeficientes sean múltiplos de algún número, debe hacerse, con el fin de facilitar las operaciones posteriores.

* Si el término en x
2 fuese negativo, se multiplicaría toda la ecuación por -1, obteniéndose así otra ecuación equivalente con el término de mayor grado positivo.
- Sector Matemática."ECUACIÓN DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA ". Disponible en:

3) ¿Cómo resolver una ecuación general de segundo grado con una incógnita?

- Para resolverla existen varios métodos:
a)Resolución de ecuaciones cuadraticas incompletas:
Son ecuaciones en las que falta algún termino para resolverlas se procede de la siguiente manera:
Por ejemplo:
En la ecuación:4x2 - 16 = 0
- Nos damos cuenta que falta el término que es de 1 grado, para resolverla, hacemos lo siguiente:

4x2 - 16 =0

4x2 = 16Pasamos el -16 al otro lado de la igualdad empleando operaciones inversas.
x2 = 16 = 4
4
Pasamos el 4 a dividir al otro lado de la igualdad.
√x2 = √4Ahora sacamos la raíz cuadrada en ambos términos (para eliminar el exponente de "x")
x = ±2Tendremos dos respuestas, una la raíz positiva y otra la raíz negativa.
b) Resolución de ecuaciones de cuadráticas por factorización:
- Primero debemos llevar todos lo términos a un lado de la igualdad, de modo que al otro quede solamente cero, luego elegimos el proceso de facorización adecuado para resolverla:
Ejemplo:

8x2 -16x = 2x +5

Ecuación Cuadrática a resolver.

8x2 -16x -2x -5 = 0

Llevamos todos los términos a un lado de la igualdad.

8x2 -18x -5 = 0

Reducimos términos semejantes.

8x2 -18x -5 = 0

Buscaremos un método de factorización adecuado para la primera parte.

8x2 -18x -5 = 0
4x 1
2x -5
8x2 -5

Emplearemos el método de factorización por aspa simple. Buscamos primero dos números que multiplicados me den 8, y luego dos números que multiplicados me den -5. Para el primer caso escogemos (4x)(2x) = 8x2, y luego (1)(-5) = -5

8x2 -18x -5 = 0
4x 1 2x
2x -5 -20x
**************-18x

Verificamos que la suma o diferencia de los productos cruzados cumpla con la condición de ser igual al segundo término, es decir, igual a -18x.

(4x +1) (2x -5) = 0

Procedemos a colocar los factores.

(4x +1) = 0 (2x -5) = 0
4x + 1 = 0 2x - 5 = 0
4x = -1 2x = 5
x = -1 x =
5
4 2

Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos las ecuaciones para hallar las raíces o resultados.
c) Resolución de ecuaciones cuadráticas completando cuadrados:
- Para resolver por este método debemos completar un binomio al cuadrado y luego despejar utilizando nuestros principios matemáticos.
Ejemplo:

x2 + 6x + 5 = 0

x2 + 6x + 5 +4= 0 +4

Hemos sumado 4 en ambos lados de la igualdad.

x2 + 6x + 9 = 4

Observamos que a la izquierda: (x +3)2 = x2 + 6x + 9

(x +3)2 = 4

Además en el término de la derecha 22 = 4

(x +3)2 -22 = 0

Llevaremos todos los términos a un solo lado de la igualdad, mientras que al otro lado dejaremos simplemente 0 (cero).

[(x +3) -2] [(x +3) +2] = 0
(x +3 -2) (x +3 +2) = 0
(x +1) (x +5) = 0

Factorizamos. Observe que en el primer factor se respetan todos los signos, mientras que en segundo factor se cambia el signo solo al término independiente (número).

(x +1) = 0 (x +5) = 0
x +1 = 0 x +5 = 0
x = -1 x = -5

Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos las ecuaciones para hallar las raíces o resultados.

d) Resolución de ecuaciones por el método de la fórmula general:
- Este método resuelve las ecuaciones mediante la fórmula general:


Ejemplo:

3x2 -2x -5 = 0

En mi ecuación original ubico los valores de a, b y c

x = -b ± √(b2 -4ac)
2a

x = -(-2) ± √[(-2)2 -4(3)(-5)
2(3)

Reemplazo los valores en la fórmula general.

x = 2 ± √(4 +60)
6

Resuelvo las potencias y productos.

x = 2 ± √64
6

Resuelvo la operación dentro del radical (en este caso una suma).

x = 2 ± 8
6

Resolvemos el radical y dejamos todo listo para hallar las dos raices o respuestas.

x = 2 + 8 x= 2 -8
6 6

Una de las raices será para el caso de la suma, mientras que la otra será para el caso de la resta.

x = 10 = 5 x= -6 = -1
6 3 6

Finalmente hallamos los valores para "x".

- Brinkster. "Ecuaciones de Segundo Grado". Disponible en:
-Mailxmail.com "Resolución de ecuaciones de segundo grado".Disponible en: http://www.mailxmail.com/curso/informatica/calculoecuaciones/capitulo3.htm

4)¿Qué deberíamos hacer para dar solución a ecuaciones cuadráticas con una incógnita en el denominador?
- Lo que debemos hacer primero es transformar una ecuación cualquiera de segundo grado en la forma ax2 + bx + c = 0
- Sector Matemática."ECUACIÓN DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA ". Disponible en:

5) Resolución de ecuaciones cuadráticas literales:
- Para resolver ecuaciones literales de primer grado con una incógnita se sigue el siguiente procedimiento:
1.Se efectúan las operaciones indicadas.
2.Se reducen los términos semejantes.
3.Se efectúa una transposición de términos; los que contiene la "x" se escriben el miembro izquierdo, y los otros miembros salen en el lado derecho.
4.Se despeja la "x": reduciendo y dividiendo cada miembro por el coeficiente de "x".
Ejemplos:

MathType 5.0 Equation

-Álgebra de Baldor. "Ecuaciones Literales de 1º grado con una incógnita". Disponible en:

6) ¿Qué es y cómo resolver:?
  • Un sistema de ecuaciones con dos y tres incógnitas:

- Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes.

Ecuaciones simultáneas: Son ecuaciones en las cuales se tiene que satisfacer simultáneamente cada una de sus ecuaciones.- para resolver estas ecuaciones se utilizan los siguientes métodos:

1. Eliminación por adición o sustracción

2. Eliminación por igualación

3. Eliminación por sustitución.

  • Sistema de ecuaciones: Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, métodos:

* Para resolver las ecuaciones con dos variables se utilizan los siguientes métodos:

a) Eliminación de una incógnita por adición o sustracción:

1. Se multiplica los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.

2. Se suma las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.

3. Se resuelve la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.

4. Se sustituye este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.

Ejemplo: Sea resolver el sistema:

x - 3y = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

2x + y = -10 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).

Solución:

Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:2x - 6y = 18 . . . . . . . . . . .. . . . (3)

.Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x":-7y = 28 ,se obtiene: y = -4

Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x":

x - 3y = 9

x - 3(-4) = 9

x + 12 = 9

x = -3;

por tanto: x = -3; y = -4.

b) Eliminación por igualación:

1. Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.

2. Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.

3. Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.

4. Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y se resuelve.

Ejemplo:

Sea resolver el sistema:x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),

4x - y = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene:

x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

,x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).

Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x":22 - 2y = (7 + y) / 4

Dése forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase:

88 - 8y = 7 + y

-9y = -81

y = 9

Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":

x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),

x = 22 - 2(9)x = 4

por tanto: x = 4; y = 9.

c) Eliminación por sustitución:

1.Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.

2. Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.

3.Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.

4. Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.

Ejemplo: Sea resolver el sistema:
3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - 3y = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1):
3x = 22 - y
x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).

Sustitúyase (3) en (2):
4 [(22 - y) / 3] - 3y = -1
4 (22 - y) - 9y = -3
88 - 4y - 9y = -3
-13y = -91
y = 7.

Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y".
x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).
x = (22 - 7) / 3
x = 5

por tanto: x = 5; y = 7.

-Álgebra de Baldor. "Ecuaciones Literales de 1º grado con una incógnita". Disponible en:

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id214.htm

- StudentsStar.galeon. "Solución de ecuaciones". Disponible en: http://student_star.galeon.com/ecuacio.html

7) ¿Qué es una Matriz? Ejemplos
- Sean "m" y "n" enteros positivos. Una matriz de m x n (se lee "m" por "n"), es una matriz de la siguiente forma, donde cada aij es un numero real.

Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.
Resuelve el sistema:
x + 2y + 3z = 9
4x + 5y + 6z = 24
3x + y - 2z = 4

Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:


Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

(-4)R1 + R2R2
(-3)R1 + R3R3
(-(1÷ 3))R2R2
(-1)R3R3
(-5)R2 + R3R3


Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:


Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución.
- StudentsStar.galeon. "Solución de ecuaciones". Disponible en:

8) ¿Cómo determinar la Determinante de una matriz?
- Es necesario saber que la determinante solo se puede hallar en una matriz cuadrada, la determinante de una matriz es el vaor que representa a la matriz, y se representa como:
* d(A) o A
Ejemplo:
A = 7 2
-3 5
det. (A) =(7) (5) - (-3) (2)
det. (A)= 42
- Para hallar la determinante de una matriz cuadrada de 2 x 2 , se procede a mulitplicar los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.
- Para hallar la determinante de una matriz 3 x 3, se colocan las tres filas, y debajo se colocan también las 2 primeras filas, luego se multiplican las diagonales principales, se suman y se restan de la suma de los productos de las diagonales secundarias. A este método se le llama Método de Sarrus.

9)¿Qué plantea el método de Gauss?
Método de Eliminación de Gauss:

Un enfoque algebraico para la eliminación de incógnitas es mediante la combinación de ecuaciones; esto se puede representar para un conjunto de dos ecuaciones veamos el siguiente ejemplo:

a11x1

+

a12x2

=

b1

(1)

a21x1

+

a22x2

=

b2

Como primer paso, se reemplaza la segunda ecuación con lo que resulte de sumarle la primera ecuación multiplicada por (-a22 / a11), esto nos dá como resultado un nuevo sistema de ecuaciones en la que se ha eliminado la variable x1 de la segunda ecuación de la siguiente forma:

a11x1

+

a12x2

=

b1

(2)

a'22x2

=

b'2

donde a' y b' son los nuevos coeficiente y constante que se obtienen de las operaciones mencionadas y en donde la variable x1 se ha eliminado de la segunda ecuación, en este momento ya podemos despejar la variable x2 de la segunda ecuación , luego esta se sustituye en la primera ecuación ( este proceso se llama Sustitución Regresiva ), y se despeja la variable x1 . Este método también se emplea para tres o más variables.
Los pasos a seguir para realizar la reducción son:

1. De ser necesario intercambiar dos ecuaciones cualesquiera del sistema.
2. Multiplicar cualquier ecuación del sistema por una constante no nula.
3. Reemplazar cualquier ecuación del sistema por el resultado de sumarle a ella un múltiplo de cualquier otra ecuación.
- Geocities.com. "SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES". Disponible en:
- Wladimiro Diaz Villanueva . " Método de Gauss-Jordan". Disponible en:
http://www.uv.es/~diaz/mn/node30.html
- Wladimiro Diaz Villanueva " Método de Gauss-Seidel ". Disponible en:
http://www.uv.es/~diaz/mn/node36.html
- Fundación Polar. "Sistema de ecuaciones". Disponible en:
http://www.fpolar.org.ve/matematica2/fasciculo15.pdf
10) Investiga sobre Sistema de ecuaciones con tres incógnitas, métodos:

* Métodos para resolver ecuaciones con tres incógnitas:


I. Método de Sustitución:

Ejemplo:

* 2x-y+z =0……..(1)

* x+ 2y-z=-3......(2)

* 3x+y - 2z=-7...(3)

Resolución:

- Despejamos "x" en (2):

x=-3-2y+z...(4)

- Sustituimos (4) en (1) y en (3), obteniendo:

En (1):

2(-3-2y+z)- y + z= 0

-5y +3z = 6...(I)

En (3):

3(-3-2y+z) +y -2z= -7

-5y +z= 2...(II)

-En la ecuación (II), despejamos "z":

z = 2+5y....(III)

- Sustiuimos (III) en (I):

-5y + 3 (2+5y)= 6

-5y + 6 + 15y= 6

10y= 0

y=0

- Reeemplazamos el valor de "y= 0"; en (II):

-5y +z =2

-5 (0) +z = 2

z=2

- Reemplazamos el valor de "y=0"; "z=2"; en (4):

x =-3 -2y + z

x= -3 - 2(0) +2

x=-1

* Luego: El conjunto solución es:

C.S = {(-1;0;2)}

II. Método de igualación:

Ejemplo:

* 2x-y+z = 0.....(1)

* x+2y - z= -3....(2)

* 3x + y -2z= -7 ..(3)

Resolución:

- Despejamos cualquiera de las incógnitas en las tres ecuaciones, por ejemplo, despejamos "x"

En (1):

2x - y +z =0 --> x= y-z/2 ...(1)

- En (2):

x + 2y -z = -3 -----> x= -2y + z -3 .....(2)

- En (3):

3x + y -2z = -7 ---> x= -y +2z - 7/3 ...(3)

- Igualamos (1) y (2):

y-z/2= -2y +z -3

y-z = 3z -6/5 ...(I)

- Igualamos (2) y (3):

- 2y + z -3 = -y +2z - 7/3

-6y +3z -9 = -y +2z -7

y = z-2/5 .....(II)

- Igualamos (I) y (II):

3z - 6/5 = z-2/ 5

3z -6 = z-2

2z = 4

z =2

- Reemplazamos el valor de z= 2; en (II):

11.Aplicacion en Problemas

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/4a_eso/Ecuacion_de_segundo_grado/Ecua_seg.htm#probl

http://www.edulat.com/3eraetapa/matematicas/3%20ano/18.htm

0 Comments:

Post a Comment

<< Home